lim[sin1/n^2+sin2/n^2+……sin n/n^2],n到∞

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开始闲得没事写作业题了。

首先注意等价无穷小的代换条件,这里是加减法,不能代换。

考虑求

\sum_{i=1}^n \sin ix\\

根据 Euler 公式,可知

\mathbb{i}\sum_{i=1}^n \sin ix+\sum_{i=1}^n\cos ix=\sum_{j=1}^n \exp(\mathbb{i}jx)\\

等号右边利用等比数列求和化简,虚部即为所求。

\sum_{i=1}^n \sin ix=\csc\frac{x}{2}\sin \frac{nx}{2}\sin \frac{(n+1)x}{2}\\

那么问题就变成了求

\lim_{n\to \infty}\csc \frac{1}{2n^2}\sin \frac{n}{2n^2}\sin \frac{n+1}{2n^2}\\

再利用等价无穷小代换即可

\begin{aligned} \lim_{n\to \infty}\csc \frac{1}{2n^2}\sin \frac{n}{2n^2}\sin \frac{n+1}{2n^2}&=\lim_{n\to \infty}\frac{\sin \frac{n}{2n^2}\sin \frac{n+1}{2n^2}}{\sin \frac{1}{2n^2}}\\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{ \frac{n}{2n^2} \frac{n+1}{2n^2}}{ \frac{1}{2n^2}}\\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{2n}\\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}\\

虽然等价无穷小代换得到结果相同。

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