这个定积分为什么等于这个值？

[公式] 答案上是 [公式] ，Wolfram Alpha上结果是1.57...，因此答案应该是对的，但是没有过程。想问一下各位大佬具体过程是怎样的？
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\begin{align*} &\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\arctan e^x |\sin x|{\rm d}x\\ =&\int_{-\pi/2}^{0}\arctan e^x |\sin x|{\rm d}x+\int_{0}^{\pi/2}\arctan e^x |\sin x|{\rm d}x\\ =&-\int_{-\pi/2}^{0}\arctan e^x \sin x{\rm d}x+\int_{0}^{\pi/2}\arctan e^x \sin x{\rm d}x\\ =&-\int_{\pi/2}^{0}\arctan e^{-x} \sin (-x){\rm d}(-x)+\int_{0}^{\pi/2}\arctan e^x \sin x{\rm d}x\\ =&\int_0^{\pi/2}\arctan e^{-x} \sin x{\rm d}x+\int_{0}^{\pi/2}\arctan e^x \sin x{\rm d}x\\ =&\int_0^{\pi/2}(\arctan e^{-x}+\arctan e^{x}) \sin x{\rm d}x\\ =&\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x{\rm d}x\\ =&\frac{\pi}{2}. \end{align*}

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