这个式子的皮尔诺麦克劳林公式怎么求?

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首先,有

\begin{align*} f(x)&=e^{2x}\ln(1+x)\\ &=\left(1+2x+2x^2+\cdots\right)\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\right)\\ &=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots \end{align*}

先来找 a_0. 常数项只能源于常数项的乘积,但第二个括号没有常数项,所以展开式中不存在常数项,换句话说, a_0=0.

再来找 a_1. 由于 a_1x 这项只能源于常数项和一次项的乘积,于是只能是第一个括号中常数项与第二个括号中一次项的乘积,即 a_1x=1\cdot x=x, 所以 a_1=1.

再来找 a_2. 由于 a_2x^2 这项或是来源于常数项与二次项的乘积、或是来源于一次项与一次项的乘积。对于前者,就是 1\cdot \left(-\frac{x^2}{2}\right)=-\frac{x^2}{2}, 对于后者,就是 2x\cdot x=2x^2, 所以 a_2x^2=-\frac{x^2}{2}+2x^2=\frac{3}{2}x^2, 所以 a_2=\frac{3}{2}.

其余系数以此类推。

以上是一种容易理解的做法,更形式化的计算参见幂级数的柯西乘积 (\text{Cauchy product).}

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