这个式子的皮尔诺麦克劳林公式怎么求？

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这个式子的皮尔诺麦克劳林公式怎么求？

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首先，有

$\begin{align*} f(x)&=e^{2x}\ln(1+x)\\ &=\left(1+2x+2x^2+\cdots\right)\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\right)\\ &=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots \end{align*}$

先来找 $a_0.$ 常数项只能源于常数项的乘积，但第二个括号没有常数项，所以展开式中不存在常数项，换句话说， $a_0=0.$

再来找 $a_1.$ 由于 $a_1x$ 这项只能源于常数项和一次项的乘积，于是只能是第一个括号中常数项与第二个括号中一次项的乘积，即 $a_1x=1\cdot x=x,$ 所以 $a_1=1.$

再来找 $a_2.$ 由于 $a_2x^2$ 这项或是来源于常数项与二次项的乘积、或是来源于一次项与一次项的乘积。对于前者，就是 $1\cdot \left(-\frac{x^2}{2}\right)=-\frac{x^2}{2},$ 对于后者，就是 $2x\cdot x=2x^2,$ 所以 $a_2x^2=-\frac{x^2}{2}+2x^2=\frac{3}{2}x^2,$ 所以 $a_2=\frac{3}{2}.$