这道题用泰勒公式怎么证明?

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c=\frac{a+b}{2}, 对每个 x\in[a,b]f'(x)x=c\text{Taylor} 展开,有

f'(x)=f'(c)+f''(\xi_x)(x-c),  其中, c\gtrless \xi_x \gtrless x, 于是 \xi_x \in[a,b]. 进而

\left|(c-x)[f'(x)-f'(c)]\right|\leq M(x-c)^2,

所以

\begin{align*} \left|\int_a^b f(x){\rm d}x\right|&=\left|\int_a^b (c-x)[f'(x)-f'(c)]{\rm d}x\right|\\ &\le M\int_a^b(x-c)^2{\rm d}x=\frac{M(b-a)^3}{12}.\\   \end{align*}

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